什么是周期函数？周期性是三角函数最重要的性质之一 ， 虽然教科书中给出了周期函数的定义 ， 但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少 ， 本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述以满足读者的求知要求.
一个周期函数不一定存在正周期.比如大家熟知的y＝sinx ， x∈（－∞ ， 0） ， 既便是存在正周期也不见得存在最小正周期 ， 比如常数函数f(x)=a ， 狄立克莱(Dirichlet)函数f(x)=
等 ， 一个周期是否是函数的最小正周期 ， 一般要用反证法进行严格的证明
.比如2π是y＝sinx ， x∈R；y＝cosx ， x∈R的最小正周期 ， π是y＝tanx ， x∈R ， x≠
＋kπ ， k∈Z的最小正周期 ，
是y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期等.
当然 ， 有很多与三角函数有关的函数也不一
定是周期函数 ， 例如y＝sinx ， x∈〔－100π ， 100π〕 ， y＝sin
， y＝sin｜x｜ ， y＝sinx2 ， y＝sin
等等.
两个周期函数的和一定是周期函数吗结论是否定的.比如y＝sinx＋cos
x就不是周期函数.而两个周期函数的和如果是周期函数 ， 这个周期函数也不一定存在最小正周期 ， 像y＝sin2x＋cos2x.
又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数 ， 但它的最小正周期却有可能发生变化 ， 比如y＝cotx与y＝tanx的周期是π ， 而y＝cotx－tanx＝2cot2x的周期是
.
对于确定函数的最小正周期的确是比较困难 ， 教科书也只要求能化为y＝Asin（ωx＋φ）形式的函数 ， 或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.
二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明
本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明
例1
证明f(x)=sinx ， x∈R的最小正周期是2π
证明：（1）f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＝sinx＝f（x）
(2)假设存在0＜T＜2π使f（x＋T）＝f（x）
即sin（x＋T）＝sinx ， x∈R
令x＝0则sinT＝0又0＜T＜2π
则T＝π
令x＝
， sin（
＋T）＝sin
即sin
＝sin
此为矛盾
由(1)(2)两步可知2π为f(x)=sinx的最小正周期
例2
证明f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期为
，
证明：（1）f（x＋
）＝｜sin（x＋
）｜＋｜cos（x＋
）｜
＝｜cosx｜＋｜sinx｜＝f（x）
(2)假设存在0＜T＜
使f（x＋T）＝f（x）
即｜sin（x＋T）｜＋｜cos（x＋T）｜＝｜sinx｜＋｜cosx｜
令x＝0得sinT＋cosT＝1
即sin（T＋
）＝
又0＜T＜
，
＜T＋
＜
∴sin（T＋
）＞
此为矛盾
由(1)(2)两步可知
为f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.
例3证明f（x）＝sin
不是周期函数.
证明：假设f(x)=sin
是周期函数则存在T≠0使f（x＋T）＝f（x）
即sin
令x＝0则sin
＝0
则
＝kπ ， k∈Z
①
令x＝T则sin
∴
＝nπ ， n∈Z
②
②÷①得
（n∈Z ， k∈Z）此为矛盾
∴f（x）＝sin
不是周期函数.
例4
证明f(x)=sinx＋cos
x不是周期函数.
证明：假设f（x）＝sinx＋cos
x是周期函数 ， 则存在T≠0使f（x＋T）＝f（x） ， 即sin（x＋T）＋cos
（x＋T）＝sinx＋cos
x
令x＝0 ， cos
T＝1 ， 则
T＝2kπ ， k∈Z
①
令x＝－T ， sin（－T）＋cos
T＝1
即sinT＝0 ， 则
T＝nπ ， n∈Z
②
①÷②得
此为矛盾.
因此f（x）＝sinx＋cos
x不是周期函数.
上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.
周期函数的定义是什么定义
存在非零常数t ， 对于任意定义域中的x都成立
1)f(x±t)=f(x)
2)f(x+t)=f(x)
则称f(x)是周期函数 ， t是他的一个周期
如果采用1) ， 那么周期函数的定义域必然是两端无界 ， 如果采用2) ， 那么只需要一端无界
严格按照课本 ， 如果课本上没有明确定义 ， 我想像高考这种考试会避开这类问题 。
因为这种定义 ， 是观察了实际中的事物或现象后 ， 在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义 ， 很难说哪一种定义更符合人们的初衷.我不认为有哪种说法错误,哪种说法正确.
另外,"上这么说周期函数f(x)的定义域m必定是双方无界的集合 。他的意思就是说实数集r了"中,"双方无界"并不一定是实数集.如y=tanx.
什么是函数的周期？1、周期函数的定义：对于函数y=f(x) ， 若存在常数T≠0 ， 使得f(x+T)
=
f(x) ， 则函数y=
f(x)称为周期函数 ， T称为此函数的周期 。
性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期 ， 则T的相反数（-T）也是f(x)的周期 。
性质2：若T是函数f(x)的周期 ， 则对于任意的整数n(n≠0) ， nT也是f(x)的周期 。
性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期 ， 且T1±T2≠0 ， 则T1±T2也是f(x)的周期 。
2、定义：在函数f(x)的周期的集合中 ， 我们称其正数者为函数f(x)的正周期 ， 称其负数者为函数f(x)的负周期 。若所有正周期中存在最小的一个 ， 则我们称之为函数f(x)的最小正周期 ， 记作T※ 。
性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期 ， T为函数f(x)的任意一个周期 ， 则
Z
-（非零整数） 。
性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※ ， 且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期 ， 则
为有理数 。
注意：常值函数是周期函数 ， 但没有最小正周期
周期函数是如何定义的？首先判断函数在这个点x0是否有定义 ， 即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续 ， 即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等 ， 即f‘(x0-)=f'(x0+) ， 只有以上都满足了 ， 则函数在x0处才可导 。
文章插图
可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导 。
可导 ， 即设y=f(x)是一个单变量函数 ， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导 。
如果一个函数在x0处可导 ， 那么它一定在x0处是连续函数 。
周期函数有以下性质：
（1）若T（T≠0）是f（x）的周期 ， 则-T也是f（x）的周期 。
（2）若T（T≠0）是f（x）的周期 ， 则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期 。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期 ， 则也是f（x）的周期 。
（4）若f（x）有最小正周期T* ， 那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍 。
（5）T*是f（x）的最小正周期 ， 且T1、T2分别是f（x）的两个周期 ， 则T1/T2∈Q（Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f（x）的两个周期 ， 且T1/T2是无理数 ， 则f（x）不存在最小正周期 。
函数周期是什么？函数的周期性定义：若存在一非零常数T ， 对于定义域内的任意x ， 使f(x)=f(x+T) 恒成立 ， 则f(x)叫做周期函数 ， T叫做这个函数的一个周期 。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中 ， 几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念 ， 用文字和比例的语言表达函数的关系 。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中 ， 已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系 ， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念 ， 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义 ， 大部分函数是被当作曲线来研究的 。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词 。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时 ， 把“function”译成“函数”的 。
中国古代“函”字与“含”字通用 ， 都有着“包含”的意思 。李善兰给出的定义是：“凡式中含天 ， 为天之函数 。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量 。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x ， 则该式子叫做x的函数 。”
【周期函数的定义】所以“函数”是指公式里含有变量的意思 。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式 。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中 ， 意思指的是包含多个未知量的联立一次方程 ， 即所说的线性方程组 。