相似一定合同吗

相似与合同的关系是什么?相似不一定合同，合同不一定相似。

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合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。
两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得C^TAC=B ，则称方阵A与B合同，记作 A?B 。
相似， p^(-1)AP=B, 则称A相似B；合同， XT AX=B ，则称A ， B合同；简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B ，此时有相同的秩，特征值；合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断。
区别：
一、应用不同
1、矩阵相似：利用矩阵对角化计算矩阵多项式；利用矩阵对角化求解线性微分方程组；利用矩阵对角化求解线性方程组。
2、矩阵合同：空间曲面的一般形式化成我们熟知的空间曲面的研究有帮助。
二、判别方式不同
【相似一定合同吗】1、矩阵相似：判断特征值是否相等；判断行列式是否相等；判断迹是否相等；判断秩是否相等。
2、矩阵合同：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
相似和合同的关系1、等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
2、相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵， PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵。
3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵。合同矩阵未必是相似矩阵，相似矩阵未必合同。
4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同。
实对称矩阵相似一定合同吗？是的，实对称矩阵相似一定合同。
相似和合同从定义出发的话，没有任何关系，只是定义看起来比较相似而已，一个-1一个T 。但是实对称阵在等价对角阵的变换过程中用到的那个变换矩阵P可以是一个正交矩阵，也就是逆矩阵和置换矩阵合并了，因此实对称阵与对角阵的相似与合同才合同。
实对称矩阵主要性质：
实对称矩阵：如果有n阶矩阵A ，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标) ，则称A为实对称矩阵。
1.实对称矩阵 A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵 A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵 A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0 E- A)=n-k ，其中 E为单位矩阵。
合同一定是相似吗?合同矩阵不一定相似，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样，也就是特征值一样，就相似且合同，特征值不一样但正负性相同就合同但不相似。
设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵p ，使得P^TAP=B ，则称矩阵A、B为合同矩阵。设A、B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P ，使P^-1AP=B ，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵) 。
合同矩阵的性质：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B ，则可以推出B合同于A 。
3、传递性：A合同于B ， B合同于C ，就可以推出A合同于C 。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法如下：
设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
为什么矩阵相似不一定合同？因为矩阵相似有可能正交化之后特征向量改变,也就是说进行变换的目标矩阵改变了,也就不合同，所以这种矩阵相似不一定合同。因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵,而这个正交单位阵也可以用于合同变换。或者利用特征值和正惯性指数,实对称矩阵相似则特征值相同,合同则正惯性指数相同, 因此正交相似可得合同。相似与合同都是乘满秩矩阵,因此相似与合同变换都不改变秩,都等价。
判断两个矩阵是否相似的辅助方法：?
（1）判断特征值是否相等。
（2）判断行列式是否相等。
（3）判断迹是否相等。
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。