曲面面积公式曲面面积公式:S=√1+Zx2+Zy2dxdy 。曲面可以看作是一条动线在空间连续运动所形成的轨迹,形成曲面的动线称为母线 。母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线,用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点 。
当物体占据的空间是二维空间时,所占空间的大小叫做该物体的面积,面积可以是平面的也可以是曲面的 。平方米,平方分米,平方厘米,是公认的面积单位,用字母可以表示为m2、dm2、cm2 。
如何计算曲面的面积?计算曲面的面积:曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y))以(x,y)为参数,其两个自然切向量分别为r(x) = (1, 0, fx)ry = (0, 1, fy)其中rx表示r对x的偏导,其余符号类似.令k=(0, 0, 1)是z轴单位正方向,也就是xy平面的法向量,这样P和xy平面的夹角就等于n和k的夹角,其余弦等于/|n||k| = 1 /\sqrt(fx^2+fy^2+1)其中 \sqrt 表示开方.因为向量n=( -fx, -fy, 1) 和rx, ry都垂直,所以 n 是曲面在p=r(x,y)处的法向量,也就是过p点的切平面P的法向量.

文章插图
曲面是一条动线,在给定的条件下,在空间连续运动的轨迹
物体所占的 平面图形的大小,叫做它们的 面积 。面积就是所占平面图形的大小, 平方米, 平方分米, 平方厘米,是公认的面积单位,用字母可以表示为(m2,dm2,cm2) 。
曲面面积怎么求?是指曲面表面的面积 。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn,且每一块仍是光滑曲面,在每个S上取一点P,过P作S的切平面T,将s投影到T上,所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在,就是曲面S的面积,对有界简单光滑曲面而言,这样的极限总是存在的,而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关 。
设空间有界曲面
为
其中
是
在
面上的投影区域,
在
上具有连续的偏导数,下面讨论曲面
的面积的计算问题 。
现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域
,任取其中的一块记作
,其面积也记作
,则当
的直径很小时,
表示以
的边界为准线,母线平行于z轴的柱面截得的曲面
上的那部分,设
是
上的任一点,根据条件,曲面
在点P处有切平面,则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替
的面积
,则
其中,
是切平面与
面的夹角,也就是切平面的法向量n与
面的法线
轴的夹角,由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
则曲面的面积微元为
将dS在投影区域
上积分,便得计算曲面面积的二重积分公式
怎样求曲面的面积?【曲面面积公式】注意极坐标面积微元:1/2r^2d\theta,具体过程如下图:
在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。
对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系 。通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°) 。
扩展资料:
曲面面积(area of a surface)是指曲面表面的面积 。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn,且每一块仍是光滑曲面,在每个S上取一点P,过P作S的切平面T,将s投影到T上,所有这些投影的面积之和的极限 。
当所有S的直径趋于零时,如果存在,就是曲面S的面积,对有界简单光滑曲面而言,这样的极限总是存在的,而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关 。
参考资料:——曲面面积
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