微分方程解法总结

总结偏微分方程的解法可分为两大方面：解析解法和数值解法。

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其中只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。
数值解法又可以分为最常见的有三种：差分法、有限体积法、有限元法。其中，差分法是最普遍最通用的方法。
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偏微分方程示例
二阶线性与非线性偏微分方程始终是重要的研究对象。
这类方程通常划分成椭圆型、双曲型与抛物型三类，围绕这三类方程所建立和讨论的基本问题是各种边值问题、初值问题与混合问题之解的存在性、唯一性、稳定性及渐近性等性质以及求解方法。
近代物理学、力学及工程技术的发展产生出许多新的非线性问题，它们常常导引出除上述方程之外的称为混合型方程、退化型方程及高阶偏微分方程等有关问题，这些问题通常十分复杂具有较大的难度。
对于偏微分方程问题的讨论和解决，往往需要应用泛函分析、代数与拓扑学、微分几何学等其它数学分支的理论和方法。
另一方面，由于电子计算机的迅速发展，使得各种方程均可数值求解，并且揭示了许多重要事实，因此，数值解法的研究，在已取得许多重要成果的基础上，将会有更快地发展。
参考资料：——偏微分方程
求微分方程微分方程求法如下：
1、可分离变量的微分方程解法。
2、齐次方程解法。
3、一阶线性微分方程解法。
4、可降阶的高阶微分方程解法。
可分离变量的微分方程解法：一般形式：g(y)dy=f(x)dx，直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx，设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解。
齐次方程解法：一般形式：dy/dx=φ (y/x)，令u=y/x则y=xu，dy/dx=u+xdu/dx，所以u+xdu/dx=φ(u)，即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分, 得∫du/［φ (u) -u］=∫dx/x，最后用 y/x代替u，便得所给齐次方程的通解。
一阶线性微分方程解法：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1 。
微分方程组的解法？线性微分方程组一般形式 X'(t)＋AX(t)＝Bu(t)，先讨论齐次方程 X'(t)＋AX(t)＝0 之解。①对主矩阵A求特征值及特征向量，将特征向量组成矩阵P，②求标准基解矩阵 e^At＝P e^(Λt) (P逆) 。当几何重数<代数重数时，主矩阵A不可对角化，我们采取准对角化方法 (即若当对角化J)，e^At＝Q^(Jt)(Q逆) 。③代入初始条件求0输入的解。
【微分方程解法总结】