指数函数和幂函数

什么是指数函数和幂函数，如何区分？区别：
1、
自变量
①指数函数的自变量为指数。
②幂函数的自变量为底数。
2、
性质
①指数函数过定点（0，1），值域为（0，+∞），定义域为R（即实数）。
②幂函数过定点（1，1）通常包括正比例函数，二次函数，三次函数，反比例函数和指数函数。（即只讨论a=1，2，3，-1，二分之一）
3、
表达式
①指数函数：y=a的x方（a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，a=1时为常数函数）
②幂函数；y=x的a方（a=1，2，3，-1，二分之一），其中y＝x2是偶函数（即a=2），其它是奇函数
区别方法
观察函数的自变量 x 所在的位置，x 在指数位置就是指数函数，x 在底数位置就是幂函数。
幂函数和指数函数有什么区别一、定义不同，从两者的数学表达式来看，两者的未知量X的位置刚好互换。

文章插图
指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1），当a>1时，函数是递增函数，且y>0；当0<a<1时，函数是递减函数，且y>0.

幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）。a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

二、性质不同

【指数函数和幂函数】1、幂函数：

2、指数函数：
扩展资料
对数的运算法则：
1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N
2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
3、log(a) M^n=nlog(a) M
4、log(a)b*log(b)a=1
5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a
指数的运算法则：
1、[a^m]×[a^n]=a^(m＋n) 【同底数幂相乘，底数不变，指数相加】
2、[a^m]÷[a^n]=a^(m－n) 【同底数幂相除，底数不变，指数相减】
3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方，底数不变，指数相乘】
4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【积的乘方，等于各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘】
什么是指数函数，什么是幂函数？区别方法：观察函数的自变量 x 所在的位置，x 在指数位置就是指数函数，x 在底数位置就是幂函数。
-----------------------------------------------------------------------------
形如 y=a^x (a>0且a≠1) (x∈R) 的函数叫指数函数。
性质：
1. 定义域和值域
x ∈ R，y >0，图像在 x 轴上方
2. 单调性
a>1 时指数函数 y=a^x 是增函数
0<a<1 时指数函数 y=a^x 是减函数
3. 奇偶性
既不是奇函数，也不是偶函数。
-----------------------------------------------------------------------------
形如 y=x^α (α为常数）的函数叫幂函数。即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x^0 、y=x^1、y=x^2、y=x^(-1)（注：y=x^(-1)=1/x, y=x^0 时 x≠0）等都是幂函数。当α取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，不大容易理解。因此，在初等函数里，不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
性质
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看其奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
α 取正值
当α>0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）；
b、函数的图像在区间 [0,+∞) 上是增函数；
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；
a=1 时即为一次函数 y=x（直线）
a=2 时即为二次函数 y=x2（抛物线）
α 取负值
当α<0时，幂函数 y=x^α 有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；若为x^(-2)，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0 。
a=-1 时即为反比例函数 y=1/x（双曲线）
α 取零
当 α=0 时，幂函数 y=x^a 有下列性质：
y=x^0 的图像是直线y=1去掉一点（0,1），是两条射线，不是连续的直线（即中间有空洞）。
幂函数和指数函数的区别是什么？指数函数幂函数有以下区别：
函数表达式不同。幂函数表示为y=x^a，而指数函数表示为y＝a^x（a＞0，且a≠1）。
定义域和值域不同。幂函数的定义域和值域随着a的取值不同而变化，而指数函数的定义域恒为R，值域恒为（0，+∞）
增长率不同。指数函数图像的增长比幂函数快的多，所以有“指数爆炸”的说法。
函数性质不同。幂函数可能是奇函数或者偶函数，而指数函数永远是非奇非偶函数。

指数函数幂函数的区别1、自变量x的位置不同。

指数函数，自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a 不等于1）。
幂函数，自变量 x 在底数的位置上，y=x^a（a 不等于 1）. a 不等于 1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。
2、性质不同。
指数函数性质：
当 a>1 时，函数是递增函数，且 y>0；
当 0<a<1 时，函数是递减函数，且 y>0 。
幂函数性质：
正值性质：
当a>0时，幂函数有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
c、在第一象限内，a>1时，导数值逐渐增大；a=1时，导数为常数；0<a<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
负值性质:

当a<0时，幂函数有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0 。
零值性质：

当a=0时，幂函数有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
3、值域不同。
指数函数的值域是（0，+∞），幂函数的值域是R 。