中位线定理的证明中位线定理的证明如下:

文章插图
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半 。
证明:已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点 。求证DE平行于BC且等于BC/2 。
C作AB的平行线交DE的延长线于G点 。
∵CG∥AD 。
∴∠A=∠ACG 。
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号) 。
∴△ADE≌△CGE (A.S.A) 。
∴AD=CG(全等三角形对应边相等) 。
∵D为AB中点 。
∴AD=BD 。
∴BD=CG 。
∵BD∥CG 。
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 。
∴DG∥BC且DG=BC 。
∴DE=DG/2=BC/2 。
∴三角形的中位线定理成立 。
相关逆定理
逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线 。
逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线 。
中位线定理怎么证明中位线可以通过测量的手段而得知,也就是通过测量证明中位线 。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,两线平行且等于第二边的一半 。
若在一个三角形中,一条线段是平行于一条边,且等于平行边的一半(这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点),这条线段就是这个三角形的中位线 。三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一,三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一 。
中位线的其他知识 。
要把三角形的中位线与三角形的中线区分开 。三角形中线是连接一顶点和它对边的中点,而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段 。梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段 。
两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线 。
中位线的三种证明方法是什么?方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点 。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
方法二:相似法:
∵D是AB中点
∴AD:AB=1:2
∵E是AC中点
∴AE:AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三:坐标法:
设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
扩展资料:
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开 。三角形中线是连接一顶点和它对边的中点,而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段 。
(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段 。
(3)两个中位线定义间的联系:可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线 。
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