直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

文章插图
设在直角三角形ABC中， ∠BAC=90° ， AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC 。
【证法1】
延长AD到E ，使DE=AD ，连接CE 。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD ，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
AD=DE ，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE ， ∠B=∠DCE ，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90° ，
∴∠ACE=90° ，
∵AB=CE ， ∠BAC=ECA=90° ， AC=CA ，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE ，
∵AD=DE=1/2AE ，
∴AD=1/2BC 。
【证法2】
取AC的中点E ，连接DE 。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC ，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC ，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
拓展资料：

逆命题1

原命题1：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
逆命题1:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
逆命题2
原命题2：如图，如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。
逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。
逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3 ， BC=4 ， AC=5 。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D ，使BD=2.5 ，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。
逆命题2的反例证法：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）以DB为半径， D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理） ∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°又∵∠BAC=90° ∴∠BAC=∠BAC’ ∴C与C’重合（也可用垂直公理证明：假使C与C’不重合由于CA⊥AB ， C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？直角三角形中含30度角的性质为30°角对应的直角边长度为斜边长度的一半。
30度的直角三角形的三条边的比例为1：√3：2 。30度的直角三角形是一个特殊的直角三角形，其三个角的分别为30度、60度和90度，根据三角形的正弦定理可以知道，三角形角的对应正弦函数值等于对应边的比，即：sin30：sin60：sin90=1：√3：2 。
直角三角形的判定
有一个角为90°的三角形是直角三角形。若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理。
以上内容参考：——直角三角形
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是什么？直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是直角三角形的一个定理，该性质称为直角三角形斜边中线定理。
设三角形的两条直角边为a、b ，斜边为c ，中线为d 。
∵a2+b2=c2 ，且d为斜边的中线，
∴对同一个角B ，可得：
cosB=（a2+c2-b2）/2ac=（a2+1/4c2-d2）/ac
化简后为：a2-1/2c2+b2=2d2
∵a2+b2=c2
∴代入后可得：1/2c2=2d2
d1=1/2c ， d2=-1/2c（不合题意，舍去）
∴d=1/2c ，命题得证。

扩展资料：
若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形，两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直，那么这个三角形为直角三角形。若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半综述：延长AD到E ，使DE=AD ，连接BE、CE 。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD ，
又∵AD=DE ，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠BAC=90° ，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），
∴AE=BC（矩形对角线相等），
∵AD=DE=1/2AE ，
∴AD=1/2BC 。
直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。其符合勾股定理，具有一些特殊性质和判定方法。
判定定理：
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180° 。两直角边相等，两锐角为45° ，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R 。
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