相似和合同的关系

相似与合同的关系是什么?相似不一定合同，合同不一定相似。

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合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。
两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A?B 。
相似，p^(-1)AP=B, 则称A相似B；合同，XT AX=B，则称A，B合同；简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值；合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断。
区别：
一、应用不同
1、矩阵相似：利用矩阵对角化计算矩阵多项式；利用矩阵对角化求解线性微分方程组；利用矩阵对角化求解线性方程组。
2、矩阵合同：空间曲面的一般形式化成我们熟知的空间曲面的研究有帮助。
二、判别方式不同
1、矩阵相似：判断特征值是否相等；判断行列式是否相等；判断迹是否相等；判断秩是否相等。
2、矩阵合同：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
相似和合同的关系是什么？相似和合同的关系是等价关系。
1、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB 。
2、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B 。当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

3、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

注意：
线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。
【相似和合同的关系】内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示。
物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3) 。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
相似和合同的关系1、等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
2、相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵，PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵。
3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵。合同矩阵未必是相似矩阵，相似矩阵未必合同。
4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同。
矩阵的合同与相似有什么联系与区别？矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩
矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。
合同是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。

扩展资料
矩阵的分解

主条目：矩阵分解
矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

三角分解
设,则A可以唯一地分解为A=U1R ,其中U1是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵，或A可以唯一地分解为其中L是正线上三角复矩阵，是酉矩阵 ?。

谱分解
谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

奇异值分解
假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得
其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解?[19]?? 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

满秩分解
设，若存在矩阵及，使得A=FG，则称其为的A一个满秩分解。

LUP分解
LUP分解的思想就是找出三个n×n矩阵L,U,P，满足. 其中L是一个单位下三角矩阵，U是一个单位上三角矩阵，P是一个置换矩阵。而满足分解条件的矩阵L,U,P称为矩阵A的一个LUP分解。
参考资料：-矩阵